jwk2121의 tistory입니다.

1997년에 Baily, Borwein 그리고 Plouffe에 의해 파이를 무한급수 형태로 나타냈습니다.

(BBP-type series)

콜라츠 추측 (Collatz Conjecture)        1930년대 : 3N+1

규칙

자연수  N이 있을 때

(1) N이 홀수이면 (3 곱하기 N) + 1로 한다.

(2) N이 짝수이면 N 나누기 2로 한다.

=> 나중에는 1로 끝난다.

(*) 아직 미해결 수학문제입니다.

N=5와 243인 경우에 대해 계산해 보았습니다.

(a) N=5인 경우

     5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

(b)  N=243인 경우

     243 – 730 – 365 - 1096 – 548 - 274 - 137 - 412 - 206 - 103 - 310 - 155 - 466 - 233 - 700 - 350 - 175 - 526 - 263 - 790         -  395 - 1186 - 593 - 1780 - 890 - 445 - 1336 - 668 - 334 167 - 502 - 251 - 754 - 377 - 1132 - 566 - 283 - 850 - 425 -           1276 - 638 - 319 - 958 - 479 - 1438 - 719 - 2158 - 1079 - 3238 - 1619 - 4858 - 2429 - 7288 - 3644 - 1822 - 911 - 2734       - 1367 - 4102 - 2051 - 6154 - 3077 - 9232 - 4616 - 2308 - 1154 – 577 – 1732 – 866 – 433 – 1300 – 650 – 325 – 976 –      488 – 244 – 122 – 61 – 184 – 92 – 46 – 23 – 70 – 35 – 106 – 53 – 160 – 80 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

가우스가 계산한 값이라고 합니다.

지난 6월 초에 수학잡지에서 문제 풀이 란이 있는데 제가 관심을 갖는 문제가 있어 한 번 풀어볼려고 했습니다.

윗 식이 성립한다는 것을 증명하라는 문제입니다. 여기서 F_n은

                                          F_1 = F_2 = 1, F_n + F_{n+1} = F_{n+2},  n=1,2,3, ...

로 정의되는 피보나치(Fibonacci) 수열을 나타냅니다.

자연수에 관한 명제여서 수학적 귀납법으로 증명하면 될 것 같아 문제를 풀려고 했습니다만

식이 좀 어려워 잘 풀리지가 않았습니다. (물론 다른 방법도 있을 수 있겠지요...)

그래서 다음과 같이 변형된 식이 성립한다는 것을 보여도 위의 식이 성립한다는 것을 증명하는 것이 됩니다.

이 식을 가지고 수학적 귀납법으로 풀려고 했는데 잘 되지가 않았어요. 매일 이 문제를 가지고 시름한 것은 아닙니다만

생각날 때마다 문제를 풀려고 노력해 보았습니다만 잘 되지가 않았어요.

한 달이 더 지나서 지난 주말에 잠시 시간을 내어 문제를 풀어 보았는데 위의 식이 성립한다는 것을

증명할 수 가 있었습니다. 물론 제 기준에서 말씀 드린 것입니다.

문제를 풀고나니 즐거웠습니다. 또 다른 문제도 풀어 볼 생각입니다.

어제 오후 잠시 시간을 내어 논문을 보았습니다.

위의 식을 만족하는 다항식 B_n,q (x,lambda)를

q-Apostol Bernoulli 다항식이라고 합니다.

위의 식의 증명을 보았는데 간단히 되어 있어서 상세하게 풀어서 증명을

해 보았는데 시간이 좀 걸렸습니다.

뒷 부분도 공부를 할까 합니다.

수학의 오일러 매스카로니 상수와 관련된 내용을

공부하다가 나온 식입니다.

j=0일 때, j=1 그리고 j=2일 때 등에 대해 각각 등식을 증명할 수가 있었습니다.

책을 보다가 본 문제 입니다.

재미 있을 것 같습니다.

.

인터넷에서 위의 문제를 보았습니다.

두번째 문제는 대학 교양수학을 배운 사람이라면

어렵지 않게 문제[4/{sin(pi/4)} 부분 생략]를 해결할 수 있습니다.

[풀이는 조금 깁니다]

x의 지수 4가 아닌 n[n은 자연수]으로 하면 상황이 달라집니다.

복소수 개념을 이용하여 문제를 해결 할 수 있습니다.

첫번째 식이 증명되면 두번째 식은 쉽게 결과가 나오네요.

좋은 문제를 보았습니다.

오늘은 3월 14일입니다.

원주율과 연관시켜 파이데이라고도 합니다.

위 식은 라이쁘니쯔(Leibniz)가 발견한 식으로 알려져 있습니다.

파이를 무한급수로 나타낸 식입니다.

파이를 나타내는 식은 무수히 많습니다.

적분을 이용하면 위의 식을 유도할 수 있습니다.

위의 식은 1910년 스리니바사 라마누잔(인도 수학자)의 의해 만들어진 식입니다.